Sigurður Halldórsson nam sellóleik hjá Gunnari Kvaran við Tónlistarskólann í Reykjavík og við Guildhall School of Music í London hjá Raphael Sommer. Þar lærði hann einnig söng, kammertónlist og Performance and Communication Skills (PCS) sem tekur á fjölþættum þáttum þess að vera starfandi tónlistarmaður í síbreytilegum heimi. Sigurður hefur starfað sem einleikari, kammertónlistarmaður og kennari í fjölbreytilegum tónlistarstíl allt frá miðöldum til nútímans. Hann starfar með Caput hópnum, Voces Thules, Symphonia angelica, Camerarctica og Skálholtskvartettinum og hefur bæði sem einleikari og með fyrrnefndum hópum komið fram víða um Evrópu, Norður-Ameríku, Kína og Japan, og í hljóð- og myndverum fyrir útvarp, sjónvarp og fleira.
Sigurður hefur flutt stóran hluta tónbókmenntanna fyrir selló og píanó víða, bæði á Íslandi, austan hafs og vestan með Daníel Þorsteinssyni píanóleikara, en þeir hafa starfað saman í yfir þrjá áratugi.
Sigurður kemur oft fram á vettvangi spunatónlistar, bæði sem flytjandi og kennari. Hann hefur unnið í leikhúsi, m.a. að tilraunakenndum sýningum í dans- og tónlistarleikhúsi. Sigurður var einn af stofnendum 15:15 tónleikasyrpunnar sem sett var á fót árið 2002. Hann hefur sérhæft sig í flutningi tónlistar fyrri tíma með upprunalegum hljóðfærum. Helstu mentorar og samstarfsmenn á því sviði hafa verið Helga Ingólfsdóttir, Ann Wallström, Bruno Cocset, Peter Spissky, og Jaap Schröder, en með honum og Skálholtskvartettinum og Bachsveitinni í Skálholti hefur hann hljóðritað 12 geisladiska. Sigurður var listrænn stjórnandi Sumartónleika í Skálholtskirkju frá 2004 - 2014. og sat í stjórn Nordic Early Music Federation frá 2013 til 2017.
Sigurður var ráðinn prófessor við tónlistardeild Listaháskólans haustið 2017, en hann hefur starfað við skólann frá árinu 2008 sem fagstjóri alþjóðlegs NAIP meistaranáms (New Audiences and Innovative Practice), tekið þátt í stefnumótun og samstarfsverkefnum á alþjóðavettvangi, auk þess að kenna fjölbreytt námskeið í skapandi tónlistarstarfi og flutningshefðum og stjórna kór skólans og ýmsum smærri samspils- og samsöngshópum.